Teoremas importantes II
Enseguida presentaremos tres resultados importantes, consecuencia del Teorema del valor medio.
Tres notas para entender el significado del siguiente teorema 7:

1. Cuando decimos nos referimos a I como un intervalo.
2. Para la función , la derivada no es continua en 0 (recuerda que ni siquiera existe en 0).
3. Compara con el teorema 7: La función, , es continua en 0 y (excepto, en x = 0), pero , puesto que y por tanto sus límites laterales son distintos.

Teorema 7 (Las discontinuidades de una función derivada, no pueden ser del tipo removible)


Dicho de otro modo. Una función con una discontinuidad removible, no puede ser derivada de ninguna función.

Un ejemplo interesante, que permite reforzar que aunque una función pueda ser derivable en todas partes, es posible que su derivada sea discontinua y su discontinuidad no puede ser removible, es la siguiente:

El siguiente teorema es una generalización del Teorema del valor medio, que a su vez es una generalización del Teorema de Rolle. Dicho de otro modo, el teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio y éste del siguiente teorema llamado: Teorema del Valor Medio de Cauchy.

Teorema 8 (Teorema del Valor Medio de Cauchy)


Observaciones:

1. Si , entonces la conclusión de este teorema se puede expresar como:
   
2. Si además: , entonces queda el Teorema del valor medio.
3. Este teorema es fundamental para calcular límites de la forma:

En este sentido es que tenemos el siguiente resultado, que generaliza el resultado del Teorema 7.

Teorema 9 ()

Existen diversas formas de la . Ninguna de ellas no requieren un razonamiento esencialmente nuevo al que se utilizó en la demostración del teorema 9 y otras se obtienen por procedimientos meramente algebraicos. También hay otro tipo de indeterminaciones, que se pueden reducir al caso del teorema 9. Puedes dar clic en los siguientes botones para ver sus enunciados.