Tres teoremas fuertes
En este apartado veremos teoremas de gran importancia en la teoría de funciones continuas en intervalos cerrados.
Para la demostración de tales teoremas será indispensable recordar el Axioma del supremo de los números reales:

En el siguiente teorema se utilizará el Teorema 3 de la sección anterior, en donde se estable que una función continua en un punto, mantiene su signo, en una vecindad de dicho punto. Si no lo recuerdas, puedes consultarlo en la sección anterior o dar clic aquí. Importante que lo tengas presente.

Teorema 1 (Primer teorema fuerte)

Este teorema es muy útil, en particular para aproximar raíces de polinomios.

Lema 1 (f continua en a, está acotada en una vecindad de a)

En la demostración del siguiente teorema, jugará un papel muy importante este Lema 1.
Revísalo con cuidado antes de entrar a la demostración del Teorema 2.

Teorema 2 (Segundo teorema fuerte)


Teorema (Tercer teorema fuerte)

En este caso se dice que f "alcanza el máximo" en x0.

Observaciones
a) El teorema 1, se puede generalizar para f(a) < c < f(b) o f(b) < c < f(c).
b) El teorema 2 se puede extender para la acotación inferior.
c) De manera similar, el teorema 3 se puede extender al mínimo.

Tales demostraciones las haremos en el siguiente apartado.