Máximos, mínimos y puntos críticos
En este apartado estudiaremos los conceptos de máximos y mínimos de una función. Lo relacionaremos con la derivada en caso de ser posible y trabajaremos con funciones definidas en intervalos cerrados [a,b].

Definición


Similarmente se establece la definición para el valor mínimo de f sobre A.

Se aprecia en la gráfica, que puede haber muchos puntos en A, donde f alcanza su valor máximo (o mínimo), pero sólo puede haber un valor máximo (o mínimo) de f sobre A. Será de interés en este estudio el caso en que A = [a,b].

Teorema 1 (La derivada en un máximo o mínimo)

Definición


Puedes construir una definición similar para un mínimo local.

Teorema 2 (La derivada en un máximo o mínimo local)

Este teorema es una consecuencia casi inmediata del teorema 1, sin embargo, el recíproco de este teorema es falso. Existen funciones con derivada 0 en un punto, donde no hay máximo, ni mínimo local. Por ejemplo: en 0.

Definición


Calculando el máximo y el mínimo de una función
Consideremos el problema de calcular el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]. Para ello, debemos considerar tres clases de puntos:

1. Los puntos críticos de f en (a,b)
2. Los extremos a y b
3. Los puntos x de (a,b), donde f no es derivable.

De todos ellos, se eligen los puntos donde la función "alcanza su máximo" y donde "alcanza su mínimo".