Idea y Método de la Demostración
La idea es aprovechar el hecho de que si c < 0, entonces -c >0 y entonces utilizar el axioma (O4) de orden, que establece que al multiplicar una desigualdad por un positivo, ésta se conserva. Se utilizará el Método Directo.

Para construir
Para construir tal cadena de implicaciones se deben utilizar exclusivamente los axiomas de los reales, las hipótesis del teorema y teoremas o resultados anteriores.

En particular se hace uso del Teorema 16 que establece:

y del Teorema 9 que establece:

El Teorema Recíproco
El recíproco de este Teorema:

es verdadero y su demostración, se deja como un ejercicio interesante. Seguro que tendrás que utilizar varios resultados ya vistos.

El Resultado General
Así, juntando la ley de cancelación para la adición y su recíproco, se tiene un resultado más general, es decir:

Conclusión
Este resultado permite decir que, al multiplicar o cancelar un factor negativo, en ambos lados de una desigualdad, ésta se invierte. Frecuentemente esta propiedad se pasa por alto en la resolución de desigualdades y por supuesto no considerarla, conduce a errores graves.